Vezmi libovolné přirozené číslo. Třebas 3 465 876 987 009.
Pro začátek bych ale doporučil nějaké menší… 
- Pokud je Tvé číslo sudé, vyděl ho dvěma! (tedy f(n)=n/2)
- Pokud je Tvé číslo liché, vynásob ho třemi a přičti jedna! (tedy f(n) =3n + 1)
A teď vždy udělej to samé s číslem, které Ti vyšlo a tak pořád dokola!
Vsadím se, že Ti za nějaký čas vyjde 1 a zacyklíš se.
Jak je toto možné? Zvláštní je, že to zatím nikdo neví.
∞
Věděli jste, že každé přirozené číslo (tedy 1,2,3,4,5…) je NESMÍRNĚ VESMÍRNĚ ZAJÍMAVÉ?
Zde je důkaz (sporem – pro odborníky 
):
Předpokládejme, že existuje nějaká neprázdná podmnožina přirozených čísel, která nejsou
NESMÍRNĚ VESMÍRNĚ ZAJÍMAVÁ. Pak tato množina má jistě nejmenší prvek
(množina N přirozených čísel je dobře uspořádaná množina).
Ale toto nejmenší z čísel, která nejsou NESMÍRNĚ VESMÍRNĚ ZAJÍMAVÁ je jistě NESMÍRNĚ VESMÍRNĚ ZAJÍMAVÉ právě tím,
že je to nejmenší číslo, které není NESMÍRNĚ VESMÍRNĚ ZAJÍMAVÉ !!!
A to je spor jako prase!
Theorem: Každá kočka má 13 ocasů.
Důkaz:
Lemma: Každá kočka má o jeden ocas víc než žádná kočka.
Která kočka má 12 ocasů? Žádná kočka. Z toho vyplývá, že každá kočka má 12+1=13 ocasů.
∞
Pár zajímavých úloh:
Mraky zajímavých úloh je zde
P1
V příkopu šířky d jsou opřeny dva žebříky tak,
že sahají do výšek h1 a h2
Jak vysoko nad dnem příkopu se překříží?
(…komu dělá potíže počítání s písmenky, tak první žebřík sahá třebas 3m vysoko, druhý 7m a příkop je široký 3,5m 
)
… a podobná úloha:
P2
Desetimetrový žebřík je opřen o stěnu a krabici 1×1 metr.
Do jaké výšky sahá?
∞
P3
Potkali se dva geometři a povídá ten jeden:
Mám na zahradě devět jabloní a zasadil jsem je tak šikovně, že tvoří deset řad po třech stromech!
A já mám deset hrušní a zasadil jsem je tak šikovně, že tvoří pět řad po čtyřech stromech! povídá ten druhej…
Je to možné?
∞
P4
Najdi posloupnost osmdesáti čísel (A1, A2, A3. … A79, A80), která má následující vlastnosti:
– každý její člen (kromě A1 a A80) je součinem svých sousedů, čili An = An-1 x An+1
– součin všech členů je roven osmi, čili A1 x A2 x A3 x … x A79 x A80 = 8
– součin prvních čtyřiceti členů je také roven osmi, čili A1 x A2 x A3 x … x A39 x A40 = 8
∞
P5
Kdyby Ti dal někdo následující nabídku, co bys udělal?
Dám ti 30$ v centech (setiny dolaru). Rozděl ty peníze na několik hromádek po libovolném počtu dolarů a já Ti vyplatím součin všech hodnot jednotlivých hromádek!
Tedy například kdybys hromádky rozdělil
10$ – 5,25$ – 9$ -1,75$ – 3 $ – 1$
což dává dohromady 30$,
dostal bys 10 x 5,25 x 9 x 1,75 x 3 x 1=2480,625$
Kolik se dá takhle nejvíc vydělat?
(Obecnější formulace úlohy: Máš kladné číslo X, najdi kladná čísla
A1, A2, A3, …, An taková, že A1 + A2 + A3 + … + An = X a součin A1 x A2 x A3 x … x An je maximální!)
∞
P6
A co tato nabídka:
Dám do řady 2 000 cihel a jenom jedna z nich bude z pravého zlata. Pak je začnu odebírat tak, že odeberu první, třetí, pátou, sedmou… až do konce. S těmi co zbyly udělám to samé a tak pořád dokola, až zbyde jen jedna. Ty si smíš na začátku určit, kam umístit tu zlatou a když zůstane poslední tak si ji smíš nechat.
Kam s ní?
A co když cihel bude 1 756 897 anebo n?
∞
P7
Nazvěme přirozené číslo n SEBEPOPISNÉ, právě když jeho číslice v dekadickém zápisu zleva do prava postupně udávají počet nul, jedniček, dvojek atd. které se vzápisu čísla objevují.
Tedy např. 2020 je sebepopisné, protože se napíše pomocí 2 nul, 0 jedniček, 2 dvojek a 0 trojek.
(Trojkou to zdaleka nemusí končit!)
Najdeš nějaká další? A kolik jich vůbec je?
∞
P8
Čerstvá houba obsahuje 95% vody, když ji usušíš tak má už jen 5% vody. Kolik musíš nasbírat čerstvých hub, abys měl 1kg sušených hub?
∞
P9
– What is the total area of these two semi-circles?
– They have a common center?
– Yes, and it lies on a diagonal of the square.
– Ah, it is a square!
– Yes. Its sides are 2.
– All four of them?
